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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {B 3 III.  DERIVATION Niveau 2}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\fbox{\textbf{D\'{E}RIV\'{E}ES SUCCESSIVES}}

\begin{enumerate}
\item : Sachant que $\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{6}+\underset{x\rightarrow 0}{o}%
\left( x^{3}\right) ,$ d\'{e}montrer que la fonction $f:\left\vert 
\begin{array}{c}
x\neq 0\mapsto \dfrac{\sin x}{x} \\ 
0\mapsto 1%
\end{array}%
\right. $ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathbb{R}.$

\item : Soit $f:x\mapsto x^{3}\sin \dfrac{1}{x}$ si $x\neq 0,$ et $f\left(
0\right) =0.$ Montrer que $f\left( x\right) =o\left( x^{2}\right) $ lorsque $%
x$ tend vers 0, mais que $f$ n'est pas deux fois d\'{e}rivable en $0.$

\item * : Sachant que $\ln \left( 1+u\right) =u-\dfrac{u^{2}}{2}+\underset{%
u\rightarrow 0}{o}\left( u^{2}\right) ,$ montrer que la fonction $f$ d\'{e}%
finie par $f\left( x\right) =\dfrac{x-1}{\ln (x)}$ se prolonge en une
fonction continue sur $[0,+\infty \lbrack $, non d\'{e}rivable en 0, mais de
classe $C^{1}$ sur $]0,+\infty \lbrack $ ; \'{e}tudier $f$ et tracer sa
courbe.

\item * : Exemple de fonction non nulle dont toutes les d\'{e}riv\'{e}es
sont nulles en un m\^{e}me point.

\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{Z},$ montrer que $e^{^{-\frac{1}{x^{2}}}}=o\left(
x^{n}\right) $ quand $x\rightarrow 0.$

\item On pose $f\left( x\right) =e^{^{-\frac{1}{x^{2}}}},$ pour $x\neq 0$ et 
$f\left( 0\right) =0$ ;

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,$ il existe une fraction
rationnelle $F_{n}$ (quotient de 2 polyn\^{o}mes) telle que 
\begin{equation*}
\forall x\neq 0\;\;\;f^{\left( n\right) }\left( x\right) =F_{n}\left(
x\right) e^{-\tfrac{1}{x^{2}}}
\end{equation*}

\item Montrer que pour tout entier naturel $n,$ $f^{\left( n\right) }\left(
0\right) $ existe et vaut $0.$
\end{enumerate}

\item Que peut-on en d\'{e}duire sur la classe de $f$ ?
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item $\alpha $ est un r\'{e}el $>0$ ; on pose $f(x)=x^{\alpha }$ ; montrer
que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $[0,+\infty \lbrack $ ssi $%
\alpha $ est entier ou $\alpha >n.$

\item $f\left( x\right) =\sqrt{x}$ ; montrer que $f^{2}$ et $f^{3}$ sont $%
C^{1}$ sur $[0,+\infty \lbrack $ mais pas $f$ ; donner de m\^{e}me un
exemple de fonction qui n'est pas $C^{2}$ sur $[0,+\infty \lbrack $ telle
que $f^{2}$ et $f^{3}$ le soient.
\end{enumerate}

\item * : On pose $f\left( x\right) =x^{\alpha }\sin \dfrac{1}{x}$ pour $x>0$
et $f\left( 0\right) =0.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $[0,+\infty \lbrack $ $%
\Leftrightarrow \alpha >0$

\item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $[0,+\infty \lbrack $ $%
\Leftrightarrow \alpha >1$

\item Montrer que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $[0,+\infty \lbrack $ $%
\Leftrightarrow \alpha >2$

\item G\'{e}n\'{e}raliser.
\end{enumerate}

\item : Newton \`{a} partir de Leibniz ;\ pour $a,b$ dans $\mathbb{R}$ on
pose $f(x)=e^{ax}$ et $g(x)=e^{bx}$ et $h=fg$ ; appliquer la formule de
Leibniz \`{a} $h$ et en d\'{e}duire la formule du bin\^{o}me.

\item : Soit $f:x\mapsto \left( x-a\right) ^{n}\left( x-b\right) ^{n}$ o\`{u}
$a$ et $b$ sont deux r\'{e}els.

\begin{enumerate}
\item A l'aide de la formule de Leibniz, d\'{e}terminer $f^{\left( n\right)
}(x)$.

\item Calculer d'une autre fa\c{c}on $f^{\left( n\right) }(x)$ lorsque $a=b.$

\item En d\'{e}duire que $\underset{k=0}{\overset{n}{\dsum }}\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) ^{2}=\left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) .$
\end{enumerate}

\item * : On pose $f(x)=\overset{n}{\underset{k=0}{\dsum }}x^{k}$ ;

\begin{enumerate}
\item Montrer \`{a} l'aide de la formule de Leibniz que pour $0\leqslant
p\leqslant n$ : 
\begin{equation*}
\left( x-1\right) f^{\left( p+1\right) }(x)=\left( n+1\right) n...\left(
n-p+1\right) x^{n-p}-\left( p+1\right) f^{(p)}(x)
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire que $\overset{n}{\underset{k=p}{\sum }}k\left(
k-1\right) ...\left( k-p+1\right) =\dfrac{\left( n+1\right) n...\left(
n-p+1\right) }{p+1}.$
\end{enumerate}

\item * : On d\'{e}finit les fonctions $f_{n}$ pour $n\in \mathbb{N}$ par : $%
f_{n}\left( x\right) =x^{n}\left( 1-x\right) ^{n}.$

\begin{enumerate}
\item Calculer suivant les valeurs de $p\in \mathbb{N},$ $f_{n}^{\left(
p\right) }\left( 0\right) .$

\item En d\'{e}duire les valeurs de $f_{n}^{\left( p\right) }\left( 1\right)
.$

\item On pose alors $g_{n}:x\mapsto \left( 1-x^{2}\right) ^{n};$ calculer $%
g_{n}^{\left( p\right) }\left( -1\right) $ et $g_{n}^{\left( p\right)
}\left( 1\right) $ en montrant que $g_{n}\left( x\right) =cf_{n}\left(
ax+b\right) .$
\end{enumerate}

\item * : Les polyn\^{o}mes d'HERMITE.

\begin{enumerate}
\item On pose 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}\ \ \forall x\in \mathbb{R}\quad h_{n}\left( x\right)
=\left( -1\right) ^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left( e^{-x^{2}}\right)
\end{equation*}

\item Calculer $h_{0}\left( x\right) ,h_{1}\left( x\right) ,h_{2}\left(
x\right) ,h_{3}\left( x\right) .$

\item D\'{e}terminer une relation de r\'{e}currence permettant de calculer $%
h_{n}\left( x\right) $ connaissant $h_{n-1}\left( x\right) $ et en d\'{e}%
duire que $h_{n}$ est une fonction polynomiale de degr\'{e} $n$ \`{a}
coefficients entiers. Soit $H_{n}$ le polyn\^{o}me formel associ\'{e} \`{a} $%
h_{n}$ (appel\'{e} $n^{i\grave{e}me}$ polyn\^{o}me d'Hermite)$.$

\item Montrer la relation de r\'{e}currence\ double: $H_{n}=2XH_{n-1}-2%
\left( n-1\right) H_{n-2}.$

\item Montrer la relation diff\'{e}rentielle : $H_{n}^{^{\prime \prime
}}-2XH_{n}^{\prime }+2nH_{n}=0.$

\item ** R\'{e}soudre l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle : $y"-2xy^{\prime
}+2ny=0$

\ \fbox{\textbf{TH\'{E}OR\`{E}MES DE ROLLE ET DES ACCROISSEMENTS FINIS}}
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction r\'{e}elle d\'{e}rivable sur un intervalle $I.$
Soit $p$ le nombre de racines de $f$ sur $I,$ et $p^{\prime }$ le nombre de
racines de $f^{\prime }$ sur $I.$ Quelle in\'{e}galit\'{e} d\'{e}duite du th%
\'{e}or\`{e}me de Rolle relie $p$ et $p^{\prime }$ ?

\item Soit $f$ $n$-fois d\'{e}rivable sur $I$ admettant $n+1$ racines
distinctes sur $I.$

Que dire de $f^{\left( n\right) }$ ?
\end{enumerate}

\item (application du 12 a))

\begin{enumerate}
\item Montrer que le polyn\^{o}me d\'{e}riv\'{e} d'un polyn\^{o}me r\'{e}el
scind\'{e} \`{a} racines simples sur $\mathbb{R}$ est scind\'{e} \`{a}
racines simples sur $\mathbb{R}$ ; est-ce encore exact si on remplace $%
\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$ ?

\item Soit $P$ un polynome r\'{e}el, $q$ et $q^{\prime }$ d\'{e}signent la
somme des ordres des racines r\'{e}elles de $P$ et de $P^{\prime }$ ;
montrer que $q^{\prime }\geqslant q-1.$

\item En d\'{e}duire que le polyn\^{o}me d\'{e}riv\'{e} d'un polyn\^{o}me r%
\'{e}el scind\'{e} sur $\mathbb{R}$ est scind\'{e} sur $\mathbb{R}$ ; red%
\'{e}montrer par exemple que le polyn\^{o}me de Legendre $D^{n}\left( \left(
X^{2}-1\right) ^{n}\right) $ est scind\'{e} sur $\mathbb{R}$.

\item * D\'{e}duire de a) le fait qu'un polyn\^{o}me r\'{e}el scind\'{e} 
\`{a} racines simples ne peut avoir deux coefficients cons\'{e}cutifs nuls.
\end{enumerate}

\item : D\'{e}montrer que $X^{n}+pX+q$ ($p,q\in \mathbb{R})$ ne peut avoir
plus de deux racines r\'{e}elles si $n$ est pair, et plus de trois racines r%
\'{e}elles si $n$ est impair.

\item : G\'{e}n\'{e}ralisations du th\'{e}or\`{e}me de Rolle.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ $.$ Montrer que 
\begin{equation*}
\left( \underset{-\infty }{\lim }f=\underset{+\infty }{\lim }f=l\in \mathbb{R%
}\right) \Rightarrow \exists c\in \mathbb{R\;}/\quad f^{\prime }\left(
c\right) =0
\end{equation*}%
M\'{e}thode 1 : montrer que $f$ n'est pas injective.

M\'{e}thode 2 : se ramener au th\'{e}or\`{e}me de Rolle usuel en utilisant $%
g(x)=f(\tan x)$.

\item Soit $f$ d\'{e}rivable sur $\left] a,b\right[ $ avec $a<b\in \mathbb{R}
$ ; Montrer que 
\begin{equation*}
\left( \underset{a}{\lim }f=\underset{b}{\lim }f=+\infty \right) \Rightarrow
\exists c\in \left] a,b\right[ \mathbb{\;}/\quad f^{\prime }\left( c\right)
=0
\end{equation*}%
\ Pour le cas g\'{e}n\'{e}ral voir l'exercice 26.
\end{enumerate}

\item : En utilisant le th\'{e}or\`{e}me des accroissements finis, d\'{e}%
montrer les in\'{e}galit\'{e}s suivantes ; dans chaque cas, on tracera les
trois courbes correspondantes.

\begin{enumerate}
\item Si $x>-1$ $\;\;$%
\begin{equation*}
\dfrac{x}{1+x}\leqslant \ln \left( 1+x\right) \leqslant x\text{ (in\'{e}galit%
\'{e}s de N\'{e}per, \`{a} conna\^{\i}tre)}
\end{equation*}%
(bien s\'{e}parer les cas $x\leqslant 0,\;$et $x\geqslant 0$ )

\item Si $0\leqslant x<1$ alors $x\leqslant \arcsin x\leqslant \dfrac{x}{%
\sqrt{1-x^{2}}};$ quelle in\'{e}galit\'{e} a-t-on pour $-1<x\leqslant 0$ ?
En d\'{e}duire que pour $0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi }{2},\ \ \ \dfrac{x%
}{\sqrt{1+x^{2}}}\leqslant \sin x\leqslant x.$

\item Si $x\geqslant 0$ alors $\dfrac{x}{1+x^{2}}\leqslant \arctan
x\leqslant x$ ; quelle in\'{e}galit\'{e} a-t-on pour $x\leqslant 0$ ?
\end{enumerate}

\item : Montrer que si $f$ est de classe $C^{1}$ en 0 avec $f^{\prime
}\left( 0\right) =1,$ et $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $
sont deux suites de limite nulle, alors 
\begin{equation*}
f\left( u_{n}\right) -f\left( v_{n}\right) \sim u_{n}-v_{n}
\end{equation*}

Appliquer \`{a} l'exercice 48 sur les suites.

\item : Red\'{e}montrer l'\'{e}quivalence (cf. ex. 5. continuit\'{e}, \'{e}%
quation de Cauchy) : 
\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\quad f\left( x+y\right)
=f\left( x\right) +f\left( y\right) \Leftrightarrow \exists a\in \mathbb{R}%
\,\,\forall x\in \mathbb{R}\quad f\left( x\right) =ax
\end{equation*}%
\ en supposant cette fois $f$ d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$.

\item : Soit $f$ une fonction d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ ; montrer les 
\'{e}quivalences : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$f\text{ est impaire}\Leftrightarrow f^{\prime }\text{ est paire et }f(0)=0$
\\ \hline
$f\text{ est paire}\Leftrightarrow f^{\prime }\text{ est impaire}$ \\ \hline
$f\text{ est p\'{e}riodique}\Leftrightarrow f^{\prime }\text{ est p\'{e}%
riodique et }f\text{ est born\'{e}e}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item : Soit $f$ une fonction d\'{e}rivable sur un intervalle $[a,+\infty
\lbrack $ ; montrer que si $\underset{+\infty }{\lim }f^{\prime }=l>0$ alors 
$\underset{+\infty }{\lim }f=+\infty ,$ mais que la r\'{e}ciproque est
fausse.

\item : * D\'{e}monstration de l'\'{e}quivalence $f\nearrow
\Longleftrightarrow f^{\prime }\geqslant 0$ sans utiliser le th\'{e}or\`{e}%
me des accroissements finis.

Soit $f$ une fonction $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ et $I$ un
intervalle inclus dans $D_{f}$; on dit que $f$ est croissante EN un point $%
x_{0}$ $\in D_{f}$ si au voisinage \`{a} gauche de $x_{0}\ \ $ $f\leqslant
f\left( x_{0}\right) $ et au voisinage \`{a} droite, $f\geqslant f\left(
x_{0}\right) $ ; plus pr\'{e}cis\'{e}ment, cela s'\'{e}crit :%
\begin{equation*}
\exists \alpha >0\ \ /\ \ \ \ \forall x\in D_{f}\ \left\{ 
\begin{array}{c}
x_{0}-\alpha <x\leqslant x_{0}\Rightarrow f\left( x\right) \leqslant f\left(
x_{0}\right) \\ 
x_{0}\leqslant x<x_{0}+\alpha \Rightarrow f\left( x\right) \geqslant f\left(
x_{0}\right)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\left[ a,b\right] \subset D_{f},\ \ a\leqslant b$ et $%
f $ croissante en tout point de $\left[ a,b\right] $ alors $f\left( a\right)
\leqslant f\left( b\right) .$

Indication : soit $c$ la borne sup\'{e}rieure de $\left\{ x\in \left[ a,b%
\right] \ \ /\ \ f\left( x\right) \geqslant f\left( a\right) \right\} $ ;
montrer que $f\left( c\right) \geqslant f\left( a\right) $ puis que $c=b.$

\item En d\'{e}duire que $f$ est croissante sur $I$ ssi la restriction de $f$
\`{a} $I$ est croissante en tout point de $I$ ; remarquer que ce th\'{e}or%
\`{e}me serait faux si on ne supposait pas $I$ intervalle.

\item D\'{e}montrer que si $f$ est d\'{e}rivable en $x_{0}$ et $f^{\prime
}\left( x_{0}\right) >0,$ alors $f$ est croissante en $x_{0}.$

\item Montrer que $f$ est croissante sur $I$ intervalle ssi $g:x\mapsto
f\left( x\right) +ax$ est croissante sur $I$ pour tout $a>0.$

\item Montrer enfin que si $f$ est d\'{e}rivable sur $I$ intervalle, alors $%
f $ est croissante sur $I$ ssi $f^{\prime }\geqslant 0$ sur $I.$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction polynomiale de degr\'{e} $2.$ Quel est en
fonction de $a$ et $b$ le r\'{e}el $c$ tel que $\left( f\left( b\right)
-f\left( a\right) \right) =\left( b-a\right) f^{\prime }\left( c\right) $ ?

\item Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de ce r\'{e}sultat
concernant la tangente \`{a} la parabole.

\item Dans un mouvement uniform\'{e}ment acc\'{e}l\'{e}r\'{e}, \`{a} quel
instant la vitesse instantan\'{e}e est-elle \'{e}gale \`{a} la vitesse
moyenne entre $t_{1}$ et $t_{2}$ ?

\item * R\'{e}ciproque : d\'{e}terminer toutes les fonctions d\'{e}rivables
sur $\mathbb{R}$ telle pour tous $a$ et $b$ r\'{e}els%
\begin{equation*}
f\left( b\right) -f(a)=\left( b-a\right) f^{^{\prime }}\left( \dfrac{a+b}{2}%
\right) \text{\ \ \ }\left( 1\right)
\end{equation*}

Indications : montrer $f$ deux fois d\'{e}rivable, d\'{e}river $\left(
1\right) $ par rappport \`{a} $b$ puis $a$ et ajouter.
\end{enumerate}

\item : En remarquant que la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $f:x\mapsto
e^{ix}$ ne s'annule jamais$,$ montrer que le th\'{e}or\`{e}me de Rolle (et
donc \'{e}galement celui des accroissements finis) ne s'\'{e}tend pas aux
fonctions $f:\mathbb{R}\mathbf{\rightarrow \mathbb{C}}.$

\item : Le th\'{e}or\`{e}me des accroissements finis g\'{e}n\'{e}ralis\'{e},
et la (grande) r\`{e}gle de l'Hospital :

\begin{enumerate}
\item Soient $f$ et $g$ continues sur $\left[ a,b\right] $, ($a\neq b)$ et d%
\'{e}rivables sur $\left] a,b\right[ .$ Pour $x\in \left[ a,b\right] ,$ on
pose 
\begin{equation*}
\varphi \left( x\right) =\left\vert 
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) -f\left( a\right) & f\left( b\right) -f\left( a\right) \\ 
g\left( x\right) -g\left( a\right) & g\left( b\right) -g\left( a\right)%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
\medskip Montrer qu'il existe $c\in \left] a,b\right[ $ tel que $\left\vert 
\begin{array}{cc}
f^{\prime }\left( c\right) & f\left( b\right) -f\left( a\right) \\ 
g^{\prime }\left( c\right) & g\left( b\right) -g\left( a\right)%
\end{array}%
\right\vert =0.$ \ \underline{Remarque} : on a donc $\dfrac{f\left( b\right)
-f\left( a\right) }{g\left( b\right) -g\left( a\right) }=\dfrac{f^{\prime
}\left( c\right) }{g^{\prime }\left( c\right) }$ si ces expressions sont d%
\'{e}finies.

\item Soient $f$ et $g$ d\'{e}rivables sur $V=\left] x_{0}-\alpha
,x_{0}+\alpha \right[ ,g$ et $g^{\prime }$ jamais nulles sur $V\backslash
\left\{ x_{0}\right\} $ et telles que $f\left( x_{0}\right) =g\left(
x_{0}\right) =0.$\ Montrer que 
\begin{equation*}
\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{%
g^{\prime }\left( x\right) }=l\Rightarrow \underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim 
}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=l
\end{equation*}%
ce r\'{e}sultat est connu sous le nom de \textquotedblleft grande r\`{e}gle
de l'Hospital\textquotedblright .\ Appliquer \`{a} $\underset{x\rightarrow 0}%
{\lim }\dfrac{\func{sh}x-\sin x}{\func{th}x-\tan x}.$

\item \underline{* Application} 1 : Montrer, en appliquant $n-1$ fois la
grande r\`{e}gle de L'Hospital, que si $f$ est $n$ fois d\'{e}rivable au
voisinage de $0,$ et si $f^{\left( k\right) }\left( 0\right) =0$ pour $%
k=0,1,...,n,$ alors $f\left( x\right) =o\left( x^{n}\right) $ quand $%
x\rightarrow 0.$\ Remarque : ceci red\'{e}montre d'une autre fa\c{c}on le th%
\'{e}or\`{e}me de Taylor-Young.

\item * Application 2 : (cf. int\'{e}gration d'un DL)\ Montrer que si $f$ et 
$g$ sont d\'{e}rivables au voisinage de $x_{0}$ et nulles en $x_{0}$ alors 
\begin{equation*}
f^{\prime }=o\left( g^{\prime }\right) \,\text{en }x_{0}\Rightarrow
f=o\left( g\right) \text{ en }x_{0}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item : Formule de Taylor-Lagrange.

Soit $f$ une fonction r\'{e}elle de classe $C^{n}$ sur $[a,b]$, $a<b,$ et $%
n+1$ fois d\'{e}rivable sur $]a,b[;$ on pose $\varphi \left( x\right)
=f\left( x\right) -\underset{k=0}{\overset{n}{\dsum }}\dfrac{f^{\left(
k\right) }\left( x\right) }{k!}\left( b-x\right) ^{k}-\lambda \dfrac{\left(
b-x\right) ^{n+1}}{\left( n+1\right) !},$ $\lambda $ \'{e}tant choisi de
sorte que $\varphi \left( a\right) =0.$

\begin{enumerate}
\item Montrer en utilisant la fonction $\varphi $ qu'il existe $c$ de $]a,b[$
tel que $f\left( b\right) =\underset{k=0}{\overset{n}{\dsum }}\dfrac{%
f^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}\left( b-a\right) ^{k}+\dfrac{%
f^{\left( k\right) }\left( c\right) }{(n+1)!}\left( b-a\right) ^{n+1}.$

\item En d\'{e}duire par exemple que $e^{x}=\underset{k=0}{\overset{\infty }{%
\dsum }}\dfrac{x^{k}}{k!}$ pour tout r\'{e}el $x.$

\ \fbox{\textbf{MONOTONIE,} \textbf{INJECTIVIT\'{E} ; FONCTIONS R\'{E}%
CIPROQUES}}
\end{enumerate}

\item : Annulation de la d\'{e}riv\'{e}e d'une fonction non monotone et th.
de Rolle g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}, th\'{e}or\`{e}me de Darboux.

Soit $I$ un intervalle non r\'{e}duit \`{a} un point.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction d\'{e}rivable sur $I,$ non monotone sur cet
intervalle. Montrer que $f$ n'est pas injective sur $I$ et en d\'{e}duire
qu'il existe $c\in I$ tel que $f^{\prime }\left( c\right) =0.$

\item En d\'{e}duire le th\'{e}or\`{e}me de Rolle g\'{e}n\'{e}ralis\'{e} : \
si $f$ d\'{e}rivable sur $\left] a,b\right[ $ avec $a<b\in \overline{\mathbb{%
R}}$ est telle que $\underset{a}{\lim }f=\underset{b}{\lim }f,$ alors $%
\exists c\in \left] a,b\right[ \mathbb{\;}/\quad f^{\prime }\left( c\right)
=0.$

\item * En d\'{e}duire aussi que si $f$ fonction d\'{e}rivable sur un
intervalle ouvert $I$ a une d\'{e}riv\'{e}e prenant des valeurs $<0$ et des
valeurs \TEXTsymbol{>} $0$ sur $I$ alors sa d\'{e}riv\'{e}e s'annule sur $I.$

\item * En d\'{e}duire le th\'{e}or\`{e}me de Darboux : \textquotedblleft si 
$f$ est une fonction d\'{e}rivable sur un intervalle $I,$ alors $f^{\prime }$
v\'{e}rifie le th\'{e}or\`{e}me des valeurs interm\'{e}diaires sur $I,$
c'est-\`{a}-dire que l'image de tout intervalle de $I$ est un
intervalle.\textquotedblright

\item * En d\'{e}duire un exemple (autre que celui de l'exercice 22. de la s%
\'{e}rie continuit\'{e} globale) de fonction non continue qui v\'{e}rifie
cependant le th\'{e}or\`{e}me des valeurs interm\'{e}diaires.

\item * D\'{e}duire aussi du th\'{e}or\`{e}me de Rolle g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}
que la foncion $f_{n}$ d\'{e}finie par $f_{n}\left( x\right) =\frac{d^{n}}{%
dx^{n}}\left( e^{-x^{2}}\right) $ s'annule au moins $n$ fois sur $\mathbb{R}$
; on en d\'{e}duit que le polyn\^{o}me d'Hermite (exercice 11) poss\`{e}de $%
n $ racines r\'{e}elles distinctes.
\end{enumerate}

\item * : Montrer que pour tout entier $n\geqslant 3,$ l'\'{e}quation $%
e^{x}=x^{n}$ poss\`{e}de exactement deux solutions $1<a_{n}<b_{n}$ (figure
pour $n=3)$ ; d\'{e}terminer un \'{e}quivalent de $a_{n}$ et de $b_{n}.$

\item : Soit $f$ une fonction $\mathbb{R}\mathbf{\rightarrow }\mathbb{R}$,
avec $D_{f}=I,f\left( I\right) =J,$ telle que pour toute suite $\left(
u_{n}\right) $ d'\'{e}l\'{e}ments de $I,$ la convergence de la suite $\left(
f\left( u_{n}\right) \right) $ implique celle de la suite $\left(
u_{n}\right) $.

\begin{enumerate}
\item Montrer par l'absurde que $f$ est injective, puis que $f^{-1}$ est
continue sur $J$.

\item En d\'{e}duire que si $J$ est un intervalle, $f$ est une bijection
continue de $I$ sur $J.$
\end{enumerate}

\item * : On se pose la question de savoir si $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{%
\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\left( \dfrac{dx}{dt}\right) ^{2}}.$

\begin{enumerate}
\item Un exemple ; on pose $\left\{ 
\begin{array}{l}
x=\ln t \\ 
y=\dfrac{1}{2}\left( t+\dfrac{1}{t}\right)%
\end{array}%
\right. .$ Exprimer $y$ en fonction de $x$ ; calculer $\dfrac{\dfrac{dy}{dt}%
}{\dfrac{dx}{dt}}$ en fonction de $x$ et comparer avec $\dfrac{dy}{dx}$ ;
calculer $\dfrac{\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\left( \dfrac{dx}{dt}\right) ^{2}}$
en fonction de $x$ et comparer avec $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.$

\item On donne $\left\{ 
\begin{array}{l}
x=f\left( t\right) \\ 
y=g\left( t\right)%
\end{array}%
\right. $ avec $f$ et $g$ $C^{2},$ $f$ bijective , $h=g\circ f^{-1}$ ;
exprimer \`{a} l'aide de $f$ et $g$ et en fonction de $t,\dfrac{\dfrac{dy}{dt%
}}{\dfrac{dx}{dt}}$ et $\dfrac{dy}{dx}=h^{\prime }\left( x\right) ,$ puis $%
\dfrac{\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\left( \dfrac{dx}{dt}\right) ^{2}}$ et $%
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=h^{\prime \prime }\left( x\right) .$
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier rapidement la fonction 
\begin{equation*}
f:\left\vert 
\begin{array}{l}
\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \\ 
x\mapsto \dfrac{\ln x}{x}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\item Soit $g$ la fonction r\'{e}ciproque de $f$ sur $\left[ e,+\infty %
\right[ $ ($g$ est donc d\'{e}finie sur $\left] 0,\dfrac{1}{e}\right] $).
Pour $x\in \left] 1,e\right] $ on pose 
\begin{equation*}
h\left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}%
Etudier $h$ et tracer sa courbe. Calculer $h\left( 2\right) $ et $h^{\prime
}\left( 2\right) .$

\item D\'{e}terminer et tracer l'ensemble $C=\left\{ \left( x,y\right) \in
\left( \mathbb{R}_{+}^{\ast }\right) ^{2}\text{ }/\text{ }%
x^{y}=y^{x}\right\} ,$ et hachurer l'ensemble%
\begin{equation*}
A=\left\{ \left( x,y\right) \in \left( \mathbb{R}_{+}^{\ast }\right) ^{2}%
\text{ }/\text{ }x^{y}>y^{x}\right\}
\end{equation*}

\item Comparer $e^{\pi }$ et $\pi ^{e}.$

$\fbox{$\mathbf{FORMULE\ DE\ TAYLOR-YOUNG-D\acute{E}VELOPPEMENTS\ LIMITES}$}$%
\newline
\end{enumerate}

\item Soit $f$ une fonction deux fois d\'{e}rivable en $x_{0}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\begin{equation*}
\dfrac{f\left( x_{0}+u\right) -f\left( x_{0}-u\right) }{2u}=f^{\prime
}\left( x_{0}\right) +\underset{u\rightarrow 0}{o}\left( u\right)
\end{equation*}

\item Donner un exemple de $f$ continue en $x_{0}$ telle que $\underset{%
u\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{f\left( x_{0}+u\right) -f\left( x_{0}-u\right) 
}{2u}=l\in \mathbb{R}$ et pourtant $f$ n'est pas d\'{e}rivable en $x_{0}.$
\end{enumerate}

\item Soit $f$ une fonction trois fois d\'{e}rivable en $x_{0}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\begin{equation*}
\dfrac{f\left( x_{0}+u\right) -2f\left( x_{0}\right) +f\left( x_{0}-u\right) 
}{u^{2}}=f^{"}\left( x_{0}\right) +\underset{u\rightarrow 0}{o}\left(
u\right)
\end{equation*}

\item Donner un exemple de $f$ d\'{e}rivable en $x_{0}$ telle que $\underset{%
u\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{f\left( x_{0}+u\right) -2f\left( x_{0}\right)
+f\left( x_{0}-u\right) }{u^{2}}=l\in \mathbb{R}$ et pourtant $f$ n'est pas
deux fois d\'{e}rivable en $x_{0}.$

\item * G\'{e}n\'{e}raliser le a) \`{a} l'ordre $n.$
\end{enumerate}

\item : Int\'{e}gration et d\'{e}rivation d'un d\'{e}veloppement limit\'{e}.

On consid\`{e}re une fonction $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ d\'{e}rivable au
voisinage de $x_{0}$

\begin{enumerate}
\item Montrer, en utilisant la grande r\`{e}gle de L'Hospital (exercice 24)
que si $f^{\prime }$ poss\`{e}de un d\'{e}veloppement limit\'{e} polynomial 
\`{a} l'ordre $n$ en $x_{0}$ alors $f$ poss\`{e}de un d\'{e}veloppement \`{a}
l'ordre $n+1$ en $x_{0},$ obtenu en int\'{e}grant terme \`{a} terme celui de 
$f^{\prime }.$

\item Montrer que la r\'{e}ciproque est fausse ($f\left( x\right)
=x^{n+1}\sin \dfrac{1}{x}$ ; on a par contre vu en cours que cette r\'{e}%
ciproque est vraie si $f$ est suppos\'{e}e $n+1$ fois d\'{e}rivable en $%
x_{0}).$
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer sans passer par la formule de Taylor, mais en
utilisant les d\'{e}veloppements connus, les d\'{e}veloppements limit\'{e}s
en $x_{0}$ \`{a} l'ordre $n$ des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $x\mapsto e^{x}$

\item $x\mapsto \cos x$

\item $x\mapsto \sin x$

\item $x\mapsto x^{\alpha }$

\item $x\mapsto \ln x$

\item $x\mapsto \ln \dfrac{1+x}{1-x}$ (ici $x_{0}=0$).
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer le d\'{e}veloppement limit\'{e} polynomial de $f$ en $%
x_{0}$ \`{a} l'ordre $n.$

\begin{enumerate}
\item $x_{0}=0\,;n=3;f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-4x+3}$\newline
Rep :$\allowbreak \frac{1}{3}+\frac{4}{9}x+\frac{13}{27}x^{2}+\frac{40}{81}%
x^{3}+o\left( x^{3}\right) $

\item $x_{0}=1$ ; $n=6$ ; $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$\newline
Rep :$\allowbreak u-\frac{3}{2}u^{2}+\frac{11}{6}u^{3}-\frac{25}{12}u^{4}+%
\frac{137}{60}u^{5}-\frac{49}{20}u^{6}+o\left( u^{6}\right) $

\item $x_{0}=0$ ; $n=7$ ; $f(x)=e^{\sin x}$\newline
Rep : $\allowbreak 1+x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}-\frac{x^{5}}{15}-%
\frac{x^{6}}{240}+\frac{x^{7}}{90}+o\left( x^{7}\right) $

\item $x_{0}=0$ ; $n=7$ ; $f(x)=\func{ch}\left( 2x\right) \func{sh}\left(
3x\right) $\newline
Rep : $\allowbreak 3x+\frac{21}{2}x^{3}+\frac{521}{40}x^{5}+\frac{13021}{1680%
}x^{7}+o\left( x^{7}\right) $

\item $x_{0}=0$ ; $n=3$ ; $f(x)=\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}\allowbreak $%
\newline
Rep$\ $: $\allowbreak e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^{2}-\frac{7e}{16}%
x^{3}+o\left( x^{3}\right) $

\item $x_{0}=0$ ; $n=6$ ; $f(x)=\ln \cos x$\newline
Rep :$\allowbreak -\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}-\frac{x^{6}}{45}+o\left(
x^{6}\right) $

\item $x_{0}=\frac{\pi }{2};n=4;f(x)=\cos x-x\sin x$\newline
Rep :$\allowbreak -\frac{1}{2}\pi -2u+\frac{\pi }{4}u^{2}+\frac{2}{3}u^{3}-%
\frac{\pi }{48}u^{4}+o\left( u^{4}\right) $

\item $x_{0}=0\,;n=4;f(x)=\dfrac{1}{\left( 2-x\right) ^{2}}$\newline
Rep : $\allowbreak \frac{1}{4}+\frac{1}{4}x+\frac{3}{16}x^{2}+\frac{1}{8}%
x^{3}+\frac{5}{64}x^{4}+o\left( x^{4}\right) $

\item $x_{0}=1;n=4;f(x)=\arctan x$ (proc\'{e}der par int\'{e}gration)

Rep : $\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^{2}}{4}+\dfrac{u^{3}}{12}%
+o\left( u^{4}\right) $

\item $x_{0}=1\,;n=4;f(x)=\left( 2-x\right) ^{\tan \left( \pi x\right) }$%
\newline
Rep$=\allowbreak 1+\left( -\pi \right) u^{2}-\frac{\pi }{2}u^{3}+\left( -%
\frac{\pi }{3}+\frac{\pi ^{2}}{2}-\frac{\pi ^{3}}{3}\right) u^{4}+o\left(
u^{4}\right) $

\item $x_{0}=0\,;n=5;f(x)=\left( 1+\arcsin \left( x\right) \right) ^{\sin
\left( x\right) }$\newline
Rep : $1+x^{2}-\frac{x^{3}}{2}+\frac{5}{6}x^{4}-\frac{5}{6}x^{5}+o\left(
x^{5}\right) $

\item $x_{0}=0\,;n=6;f(x)=\left( \cos x\right) ^{\sin x}$\newline
Rep$\ :\allowbreak 1-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{8}x^{6}+o\left( x^{6}\right) $

\item $x_{0}=0\,;n=6;f(x)=\ln \left( \tan \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{4}%
\right) \right) $\newline
Rep : $x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{24}+o\left( x^{6}\right) $

\item $x_{0}=\frac{\pi }{6};n=2\,\;;\;f\left( x\right) =\left( \tan \dfrac{3x%
}{2}\right) ^{\tan 3x};$

Rep : $\frac{1}{e}\left( 1+\frac{3}{2}u^{2}+o\left( u^{2}\right) \right) $
\end{enumerate}

\item D\'{e}terminer les deux premiers termes non nuls du d\'{e}veloppement
polynomial de $f$ en $0$ :

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\ln \left( 1+x\right) }$

\item $f(x)=\left( 1+x\right) ^{x}-\left( 1+\sin x\right) ^{\sin x}$

\item $f(x)=\ln \left( 1+\sin x\right) -\sin \left( \ln \left( 1+x\right)
\right) $

\item $f(x)=e^{\sin x}-e^{\arcsin x}$

Rep : (a) $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{12},$(b) $\dfrac{x^{4}}{3}-\dfrac{x^{5}}{4%
}.$
\end{enumerate}

\item Soit$\left\{ 
\begin{array}{c}
f(x)=x+ax^{3}+bx^{5}+cx^{7}+\cdots +o\left( x^{n}\right) \\ 
g(x)=x+a^{\prime }x^{3}+b^{\prime }x^{5}+c^{\prime }x^{7}+\cdots +o\left(
x^{n}\right)%
\end{array}%
\right. $ (quand $x\rightarrow 0)$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la partie principale du d\'{e}veloppement polynomial en 
$0$ de 
\begin{equation*}
f\left( g\left( x\right) \right) -g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}

\item Application \`{a} $\sin \left( \tan \left( x\right) \right) -\tan
\left( \sin \left( x\right) \right) $.
\end{enumerate}

\item Soit $n\in \mathbb{N}.$ D\'{e}terminer le d\'{e}veloppement polynomial
de $f$ en $0$ \`{a} l'ordre $n$ de :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\ln \left( 1+x\right) }{1+x}$ (on fera appara\^{\i}tre la s%
\'{e}rie harmonique).

\item $e^{x}\sin x$ (utiliser les complexes).
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le DLP$_{3}$ de $\dfrac{1}{1+x-2x^{2}}$ en 0.

\item \'{E}crire $\dfrac{1}{1+x-2x^{2}}$ sous la forme $\dfrac{a}{1+\alpha x}%
+\dfrac{b}{1+\beta x}$pour obtenir son DLP \`{a} l'ordre n en 0.
\end{enumerate}

\item : Compl\'{e}ment \`{a} l'exercice 24 sur les limites, traitant de la
port\'{e}e d'un promontoire.\newline

\begin{enumerate}
\item Montrer que $L^{\prime }=\sqrt{2Rh}\left( 1+\dfrac{u}{4}+o\left(
u\right) \right) $ quand $u=\dfrac{h}{R}\rightarrow 0,$ puis que $L=\sqrt{2Rh%
}\left( 1-\frac{5}{12}u+o\left( u\right) \right) $ quand $u\rightarrow 0.$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item On se propose de d\'{e}terminer le DLP$_{n}$ en 0 de $\dfrac{1}{%
1-x-x^{2}}$ de 3 mani\`{e}res diff\'{e}rentes.

\begin{enumerate}
\item M\'{e}thode des coefficients ind\'{e}termin\'{e}s ; on pose $\dfrac{1}{%
1-x-x^{2}}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}a_{k}x^{k}+o(x^{n})$, $\left(
1-x-x^{2}\right) \left( \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}%
a_{k}x^{k}+o(x^{n})\right) =1$ ; en d\'{e}duire une relation de r\'{e}%
currence d'o\`{u} l'exprssion de $a_{k}$ \`{a} l'aide de la suite de
Fibonacci $\left( F_{n}\right) $ ($F_{0}=0,F_{1}=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n})$.

\item Retrouver le DLP$_{n}$ de $\dfrac{1}{1-x-x^{2}}$ en utilisant la m\'{e}%
thode du 42. (b) ; en d\'{e}duire une expression de $F_{n}.$

\item Retrouver encore le DLP$_{n}$ de $\dfrac{1}{1-x-x^{2}}$ en utilisant
la m\'{e}thode $\dfrac{1}{1-u}$ et en d\'{e}duire une relation entre les
coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci.
\end{enumerate}

\item D\'{e}terminer le DLP$_{n}$ de $\dfrac{1}{1+x+x^{2}}$ en 0.
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer le d\'{e}veloppement g\'{e}n\'{e}ralis\'{e} au
voisinage de $0$ suivant la famille $\left( x^{k}\right) _{k\in \mathbb{Z}}$
de :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\sin x}{\ln \left( 1+\sin ^{2}x\right) }$ \`{a} la pr\'{e}%
cision $x^{3}\quad \left( =\allowbreak \dfrac{1}{x}+\frac{2}{3}x-\frac{53}{%
360}x^{3}+o\left( x^{3}\right) \right) $

\item $\dfrac{1}{1-\cos x}$ \`{a} la pr\'{e}cision $x^{3}\quad \left(
=\allowbreak \dfrac{2}{x^{2}}+\frac{1}{6}+\frac{1}{120}x^{2}+o\left(
x^{3}\right) \right) $
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer le d\'{e}veloppement g\'{e}n\'{e}ralis\'{e} au
voisinage de $+\infty $ suivant la famille $\left( x^{k}\right) _{k\in 
\mathbb{Z}}$ de :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{1+x}$ pr\'{e}cision $\dfrac{1}{x^{n}}$

\item $\sqrt{1+x+x^{2}}$ pr\'{e}cision $\dfrac{1}{x^{2}}$

\item $\sin \left( \dfrac{x+1}{x^{2}+1}\right) $ pr\'{e}cision $\dfrac{1}{%
x^{3}}\left( =\dfrac{1}{x}\allowbreak +\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{7}{6x^{3}}%
+o\left( \dfrac{1}{x^{3}}\right) \right) $
\end{enumerate}

\item D\'{e}terminer le d\'{e}veloppement asymptotique quand $x\rightarrow
+\infty $ suivant la famille $\left( x^{\alpha }\ln x^{\beta }\right)
_{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ de :

\begin{enumerate}
\item $\ln \left( x+1\right) $ \`{a} la pr\'{e}cision $\dfrac{1}{x^{n}}$

\item $\ln \left( \dfrac{x+1}{x+2}\right) $ \`{a} la pr\'{e}cision $\dfrac{1%
}{x^{n}}$
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer un d\'{e}veloppement asymptotique quand $x\rightarrow
+\infty $ suivant la famille $\left( e^{-kx}\right) _{k\in \mathbb{N}}$ de :

\begin{enumerate}
\item $\ln \left( 1+e^{x}\right) $ \`{a} la pr\'{e}cision $e^{-nx}.$

\item th $x$ \`{a} la pr\'{e}cision $e^{-nx}.$
\end{enumerate}

\item D\'{e}terminer la partie principale quand $x\overset{>}{\rightarrow }0$
de $x^{x}-\left( \sin x\right) ^{\sin x}.$

Rep : $\dfrac{x^{3}\ln x}{6}.$

\item * : Reprenant les notations de l'exercice 33, on souhaite calculer $%
h_{d}^{\prime }\left( e\right) .$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $\dfrac{\ln \left( e+u\right) }{e+u}=\dfrac{1}{e}-%
\dfrac{u^{2}}{2e^{3}}+o\left( u^{2}\right) $ quand $u\rightarrow 0.$

\item En utilisant $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln \left( h\left( x\right)
\right) }{h\left( x\right) }$ et la premi\`{e}re question, d\'{e}montrer que 
\begin{equation*}
\left( h\left( x\right) -e\right) ^{2}\underset{x\rightarrow e}{\sim }\left(
x-e\right) ^{2}
\end{equation*}%
et en d\'{e}duire que $h_{d}^{\prime }\left( e\right) =-1.$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer en utilisant simplement le d\'{e}veloppement limit\'{e}
de la fonction r\'{e}ciproque que :

\begin{enumerate}
\item $\arccos \left( 1-u\right) \underset{u\rightarrow 0}{\sim }\sqrt{2u}$

\item $\func{argch}\left( 1+u\right) \underset{u\rightarrow 0}{\sim }\sqrt{2u%
}$

\item $\func{argth}\left( 1-u\right) \underset{u\rightarrow 0}{\sim }\frac{1%
}{2}\left\vert \ln u\right\vert $ alors que $\tan \left( \dfrac{\pi }{2}%
-u\right) \underset{u\rightarrow 0}{\sim }?$

\item $\arg ${}$\coth \left( 1+u\right) \underset{u\rightarrow 0}{\sim }%
\frac{1}{2}\left\vert \ln u\right\vert $
\end{enumerate}

\item D\'{e}montrer plus g\'{e}n\'{e}ralement, en utilisant $\arccos
(1-u)=2\arcsin \dfrac{\sqrt{2u}}{2}$ que $\arccos \left( 1-u\right) $ poss%
\`{e}de un d\'{e}veloppement limit\'{e} g\'{e}n\'{e}ralis\'{e} \`{a} l'ordre 
$n$ du type : 
\begin{equation*}
a_{0}\sqrt{u}+a_{1}\sqrt{u^{3}}+\cdots +a_{n}\sqrt{u^{2n+1}}+o\left( \sqrt{%
u^{2n+1}}\right) \text{ quand }u\rightarrow 0
\end{equation*}%
et calculer les $a_{i}.$

\item D\'{e}terminer de m\^{e}me des d\'{e}veloppements limit\'{e}s de :

\begin{itemize}
\item $\func{argch}\left( 1+u\right) $

\item $\func{argth}\left( 1-u\right) $

\item $\arg ${}$\coth \left( 1+u\right) $
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item * : Soit $g:x\mapsto x+\ln x$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ poss\`{e}de une fonction r\'{e}ciproque $f,$
strictement croissante, de classe $\mathcal{C}^{\infty },$ strictement
positive sur $\mathbb{R}.$ Tracer les courbes de $f$ et $g.$

\item Montrer que $f\left( x\right) $ $\underset{x\rightarrow +\infty }{\sim 
}x.$

\item Montrer que la fonction $f_{1}$ $:x\mapsto x-\ln x$ est asymptote \`{a}
$f$ en $+\infty .$

\item Montrer plus pr\'{e}cis\'{e}ment que : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =x-\ln x+\frac{\ln x}{x}+o\left( \frac{\ln x}{x}\right) 
\text{ quand }x\rightarrow +\infty
\end{equation*}%
et en d\'{e}duire un terme suppl\'{e}mentaire dans le d\'{e}veloppement
asymptotique de $f.$
\end{enumerate}

\item * : Soit $f:x\mapsto \left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}$

\begin{enumerate}
\item Prolonger $f$ par continuit\'{e} en $0.$

\item Montrer que $f$ poss\`{e}de des d\'{e}veloppements polynomiaux \`{a}
tous ordres en $0$ et d\'{e}terminer celui d'ordre $2.$

\item D\'{e}montrer que $f$ est $\mathcal{C}^{2}$ sur $\left[ 0,+\infty %
\right[ .$

\item Donner un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} trois termes de $\left(
n+1\right) ^{n}$ lorsque $n\rightarrow +\infty .$
\end{enumerate}

\item * : Soient $a$ et $b$ deux r\'{e}els tels que $0<a<b.$ On pose $%
m\left( t\right) =\left( \dfrac{a^{t}+b^{t}}{2}\right) ^{\frac{1}{t}}.$ (En
particulier, $m\left( 1\right) $ est la moyenne \textit{arithm\'{e}tique},
et $m\left( -1\right) $ est la moyenne \textit{harmonique} de $a$ et $b$).

\begin{enumerate}
\item Que vaut $m\left( +\infty \right) =\underset{t\rightarrow +\infty }{%
\lim }m\left( t\right) $ ? Que vaut $m\left( -\infty \right) =\underset{%
t\rightarrow -\infty }{\lim }m\left( t\right) $ ?

\item Montrer que $m\left( 0\right) =\underset{x\rightarrow 0}{\lim }m\left(
t\right) =\sqrt{ab}$ : c'est la moyenne g\'{e}om\'{e}trique de $a$ et $b.$

\item D\'{e}terminer un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $1$ de $%
m\left( t\right) $ quand $t\rightarrow 0.$\newline
(rep : $m\left( t\right) =\sqrt{ab}\left( 1+\dfrac{\ln ^{2}\frac{a}{b}}{8}%
t+o\left( t\right) \right) $)\newline
En d\'{e}duire $m^{\prime }\left( 0\right) .$

\item ** En utilisant une in\'{e}galit\'{e} de convexit\'{e}, d\'{e}montrer
que 
\begin{equation*}
t>1\Rightarrow m\left( t\right) >m\left( 1\right) .
\end{equation*}

\item ** En d\'{e}duire que si $0<u<v$ alors $\dfrac{a^{u}+b^{u}}{2}<\left( 
\dfrac{a^{v}+b^{v}}{2}\right) ^{\frac{u}{v}}$ ; puis que $m$ est strictement
croissante sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast }.$

\item ** Montrer que $m$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}%
_{-}^{\ast }$ , puis sur $\mathbb{R}$ tout entier.

\item ** Tracer $\mathcal{C}_{m}$ pour $a=1,b=4.$

{\LARGE \'{E}TUDES DE FONCTIONS}
\end{enumerate}

\item : R\'{e}duire l'intervalle d'\'{e}tude au maximum et indiquer comment
obtenir la courbe enti\`{e}re.

\begin{enumerate}
\item $f:x\mapsto \sin x-\sin 3x$

\item $f:x\mapsto \sin \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{3x}{2}$

\item $f:x\mapsto \left[ 2x\right] -x$

\item $f:x\mapsto \dfrac{1}{x-\left[ x\right] }$

\item $f:x\mapsto \tan \dfrac{x}{2}+\sin x$
\end{enumerate}

\item : Etudier $f$ au voisinage de $x_{0},$ tracer $\mathcal{C}_{f}$ au
voisinage de $M_{0}\left( x_{0},f\left( x_{0}\right) \right) $ (on \'{e}%
tudiera la possibilit\'{e} de prolonger $f$ par continuit\'{e}, la d\'{e}%
rivabilit\'{e}, la position de la courbe par rapport \`{a} la tangente...)

\begin{enumerate}
\item $f\left( x\right) =x^{\alpha }\ln x$ $\left( x_{0}=0\right) $

\item $f\left( x\right) =x^{x^{\alpha }}$ $\left( x_{0}=0\right) $

\item $f\left( x\right) =\dfrac{\ln \left( 1+x\right) }{e^{x}-1}$ $\left(
x_{0}=0\right) $

\item $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x^{2}\left( x-1\right) }$ $\left(
x_{0}=0\right) $

\item $f\left( x\right) =\left\vert 1+\dfrac{1}{x}\right\vert ^{x}$ $\left(
x_{0}=0\;;\;x_{0}=-1\right) $

\item $f\left( x\right) =\left( 1+\sin x\right) ^{\cot x}$ $\left(
x_{0}=0\;;\;x_{0}=\pi \;;\;x_{0}=\dfrac{3\pi }{2}\right) $

\item $f\left( x\right) =\left( \func{ch}x\right) ^{\frac{1}{x}}$ $\left(
x_{0}=0\right) $
\end{enumerate}

\item * : D\'{e}montrer \`{a} l'aide d'un d\'{e}veloppement limit\'{e} que $%
\mathcal{C}_{f}$ admet un point d'inflexion en $\left( x_{0},f\left(
x_{0}\right) \right) $ et tracer la courbe au voisinage de ce point :

\begin{enumerate}
\item $f\left( x\right) =\sin ^{2}x-2\cos x$ et $x_{0}=\dfrac{\pi }{3}$

\item $f\left( x\right) =x^{2}\left( 3-2\ln x\right) $ et $x_{0}=1$

\item $f\left( x\right) =e^{-\frac{1}{x}}$ et $x_{0}=\dfrac{1}{2}$

\item $f\left( x\right) =\dfrac{x\text{ch }x-\text{sh }x}{\text{ch }x-1}$ et 
$x_{0}=0$ (ENAC 2000).
\end{enumerate}

\item Etudier les branches infinies des courbes des fonctions suivantes au
voisinage de $+\infty .$

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
$f\left( x\right) =$ & 
\begin{tabular}{l}
direction asymptotique ? \\ 
Si oui, de pente ....?%
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{l}
asymptote ? \\ 
Si oui, d'\'{e}quation....? \\ 
Position de la courbe?%
\end{tabular}
& Parabole asymptote ? & Allure \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ \hline
$1$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x-1$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x^{2}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$\sqrt{x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$\sqrt{x}-x$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$\dfrac{e^{x}}{x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x+\dfrac{1}{x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x^{2}+\dfrac{1}{x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$\sqrt{x^{2}+x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$\sqrt{x^{4}+x^{2}}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$\sin x$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x+\sin x$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x\sin x$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x\sin \dfrac{1}{x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x^{2}\sin \dfrac{1}{x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
$x^{3}\sin \dfrac{1}{x}$ &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
{\tiny .} \\ 
{\tiny .} \\ 
{\tiny .}%
\end{tabular}
\\ \hline
\end{tabular}

\item : D\'{e}terminer un d\'{e}veloppement limit\'{e} en + l'infini
jusqu'au premier terme de limite nulle puis r\'{e}pondre aux questions
suivantes : Direction asymptotique ? Asymptote ? Branche parabolique ?
Courbe asymptote ? Position de la courbe par rapport \`{a} l'asymptote ?
Allure de la courbe au voisinage de + l'infini ?

\begin{enumerate}
\item $f:x\mapsto \dfrac{x^{3}}{x-1}$

\item $f:x\mapsto \sqrt{\dfrac{x^{3}}{x-1}}$

\item $f:x\mapsto \dfrac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{2}+1}$

\item $f:x\mapsto x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$

\item $f:x\mapsto \sqrt{x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4}$

\item $f:x\mapsto \ln \left( e^{2x}-e^{x}+1\right) $

\item $f:x\mapsto \dfrac{x^{2}}{x+1}\arctan x$
\end{enumerate}

\item * Conditions d'existence d'un axe ou d'un centre de symetrie

Soit $f$ une fonction infiniment d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ \`{a}
valeurs r\'{e}elles, $C_{f}\ $la courbe associ\'{e}e.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $C_{f}$ poss\`{e}de pour axe de sym\'{e}trie la droite $%
x=x_{0}$ alors $f^{\left( 2k+1\right) }\left( x_{0}\right) =0$ pour tout $%
k\geqslant 0.$

\item Montrer que si $f$ est polynomiale, alors la r\'{e}ciproque est vraie.

\item Montrer que si $C_{f}$ poss\`{e}de pour centre de sym\'{e}trie un
point d'abscisse $x_{0}$ alors $f^{\left( 2k\right) }\left( x_{0}\right) =0$
pour tout $k\geqslant 1.$

\item Montrer que si $f$ est polynomiale, alors la r\'{e}ciproque est vraie.

\item Applications : $f\left( x\right) =x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x$ ; $f\left(
x\right) =x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}.$
\end{enumerate}

\item : Relations entre la limite de la d\'{e}riv\'{e}e et l'existence d'une
direction asymptotique.

Soit $f$ une fonction d\'{e}rivable sur $[A,+\infty \lbrack .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\underset{+\infty }{\lim }f^{\prime }=0,$ alors $C_{f}$
poss\`{e}de une direction asymptotique horizontale en $+\infty .$

Indication : soit $\varepsilon >0$ ; montrer gr\^{a}ce au TAF qu'il existe $%
B>0$ tel que si $x>B,$ alors $\left\vert \dfrac{f\left( x\right) -f\left(
B\right) }{x-B}\right\vert \leqslant \dfrac{\varepsilon }{2}$ puis en d\'{e}%
duire qu'il existe $C>B$ tel que si $x>C$ $\ \ \left\vert \dfrac{f\left(
x\right) }{x}\right\vert \leqslant \varepsilon .$

REM : cette propri\'{e}t\'{e} est la version fonctionnelle du \textit{lemme
de l'escalier} pour les suites : si $\lim \left( u_{n+1}-u_{n}\right) =0,$
alors lim$\dfrac{u_{n}}{n}=0.$

\item Montrer que la r\'{e}ciproque est fausse.

\item Montrer que si $\underset{+\infty }{\lim }f^{\prime }=a\in \mathbb{R},$
alors $C_{f}$ poss\`{e}de une direction asymptotique de pente $a$ en $%
+\infty .$
\end{enumerate}

\item * : Suite de 58).

Soit $f$ une fonction d\'{e}rivable sur $[A,+\infty \lbrack .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\underset{+\infty }{\lim }f^{\prime }=+\infty ,$ alors 
$C_{f}$ poss\`{e}de une direction asymptotique verticale en $+\infty .$

\item Montrer que la r\'{e}ciproque est fausse.

\item Montrer que si $f$ est convexe ou concave sur $[A,+\infty \lbrack ,$
alors $C_{f}$ poss\`{e}de toujours une direction asymptotique en $+\infty .$
\end{enumerate}

\item * : \'{E}tudier la fonction $f:x\mapsto \left( x^{2}\right) ^{x}$ (E3A
2000).

\item * : \'{E}tudier et tracer dans trois rep\`{e}res distincts mais ayant
un axe des ordonn\'{e}es commun (unit\'{e} : 5 cm) les fonctions $f,g,h$ : 
\newline
$f:x\mapsto \ln \left\vert 1+\dfrac{1}{x}\right\vert =\ln \left\vert
x+1\right\vert -\ln \left\vert x\right\vert $\newline
$g:x\mapsto xf\left( x\right) $\newline
$h:x\mapsto x^{2}f\left( x\right) $

\begin{enumerate}
\item on trouvera un centre de sym\'{e}trie de $\mathcal{C}_{f}$ ;

\item on montrera que $g$ et $h$ sont prolongeables par continuit\'{e} en $%
0, $ et on \'{e}tudiera la d\'{e}rivabilit\'{e} en $0$ de ces prolongements.

\item on donnera une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s du r\'{e}%
el $\alpha ,$ o\`{u} $g$ atteint son minimum, ainsi que de $g\left( \alpha
\right) .$

\item on donnera une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s du r\'{e}%
el $\beta ,$ o\`{u} $h$ atteint son maximum, ainsi que de $h\left( \beta
\right) .$

\item on \'{e}tudiera les branches infinies de la courbe de $h$ en
particulier.
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier la fonction $f:x\mapsto \left\vert 1+\dfrac{1}{x}%
\right\vert ^{x}$ (on \'{e}tudiera avec soin la fonction au voisinage de $0$
)

\item \'{E}tudier la fonction $g:x\mapsto \left\vert 1-\dfrac{1}{x}%
\right\vert ^{x}$
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\item Trouver une relation entre $f$ et $g$ permettant d'utiliser les r\'{e}%
sultats du a.

\item Montrer que $g\left( 1+u\right) \sim \left\vert u\right\vert $ quand $%
u\rightarrow 0$ et en d\'{e}duire l'\'{e}tude de $g$ au voisinage de 1.
\end{itemize}

\item * : On d\'{e}finit la famille de fonctions $f_{\lambda }$ par : $%
f_{\lambda }:x\mapsto x^{\left( x^{\lambda }\right) }$ avec $\lambda \in 
\mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier $f_{\lambda }$ au voisinage de $0.$

\item \'{E}tudier la position relative des diverses courbes.

\item D\'{e}terminer le lieu des points \`{a} tangente horizontale quand $%
\lambda $ varie (\'{e}tudier la courbe ainsi d\'{e}crite).

\item Faire une figure avec une courbe repr\'{e}sentative de chaque cas
particulier et le lieu pr\'{e}c\'{e}dent.

\item D\'{e}terminer $\underset{\lambda \rightarrow -\infty }{\lim }%
f_{\lambda }\left( 1-\frac{1}{\left\vert \lambda \right\vert }\right) $ et $%
\underset{\lambda \rightarrow -\infty }{\lim }f_{\lambda }\left( 1-\frac{1}{%
\ln \left\vert \lambda \right\vert }\right) .$
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item Etudier la fonction $f$ d\'{e}finie par $f\left( x\right) =\dfrac{\sin
x}{x}e^{x\cot x}.$

\item Etudier l'existstence et le nombre de solutions de l'\'{e}quation $%
e^{\lambda z}=z,$ $\lambda $ \'{e}tant un r\'{e}el fix\'{e}.
\end{enumerate}

\item * : D\'{e}montrer qu'il existe un r\'{e}el $\lambda >0$ tel que $%
1+x+x^{2}+...+x^{2n}$ reste toujours $\geqslant \lambda $ (pour tout $x$ r%
\'{e}el et $n$ entier naturel).
\end{enumerate}

\end{document}
